Родился 17 июня 1991 года в Кршко, Словения. Начинал заниматься футболом в юношеской команде ФК "Кршко".
Дебютировав на профессиональном уровне за родной клуб, Берич вскоре привлек к себе внимание скаутов "Интерблока", куда и перебрался в 2008 году. Также выступал в составе одного из грандов словенского футбола - "Марибора", а в 2013 году отправился покорять Австрию, где сначала защищал цвета "Штурма", а позже перебрался в венский "Рапид". Именно в "Рапиде" Берич проявил себя лучше всего, забив 27 голов в чемпионате. В 2015 году состоялся его переход в "Сент-Этьен", но почти сразу Роберт получил серьезную травму колена, которая вывела его из строя на шесть месяцев. Также играл за "Андерлехт" на правах аренды.
Выступал за различные юношеские и молодежную сборную Словении. За национальную сборную Словении - 16 матчей (1 гол).
| Сезон | Лига | Команда | ЧМ | ЧГ | КМ | КГ | ЕМ | ЕГ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2007/08 | 1л | "Кршко", Словения | 15 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2008/09 | вл | "Интерблок", Словения | 20 | 8 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 2009/10 | вл | "Интерблок", Словения | 14 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 2010/11 | вл | "Марибор", Словения | 30 | 8 | 4 | 1 | 1 | 0 |
| 2011/12 | вл | "Марибор", Словения | 28 | 6 | 4 | 1 | 11 | 1 |
| 2012/13 | вл | "Марибор", Словения | 32 | 13 | 6 | 1 | 12 | 6 |
| 2013/14 | вл | "Штурм" Грац, Австрия | 35 | 10 | 5 | 2 | 2 | 0 |
| 2014/15 | вл | "Рапид" Вена, Австрия | 33 | 27 | 4 | 0 | 2 | 0 |
| 2015/16 | вл | "Сент-Этьен", Франция | 10 | 3 | 0 | 0 | 3 | 2 |
| 2015/16 | вл | "Рапид" Вена, Австрия | 5 | 3 | 1 | 1 | 4 | 2 |
| 2015/16 | 4л | "Сент-Этьен-2", Франция | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2016/17 | вл | "Сент-Этьен", Франция | 22 | 6 | 1 | 0 | 9 | 3 |
| 2017/18 | вл | "Сент-Этьен", Франция | 15 | 7 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2017/18 | вл | "Андерлехт", Бельгия | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2018/19 | вл | "Сент-Этьен", Франция | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Всего | ||||||||
| 1л | "Кршко", Словения | 15 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| вл | "Интерблок", Словения | 34 | 12 | 6 | 2 | 0 | 0 | |
| вл | "Марибор", Словения | 90 | 27 | 14 | 3 | 24 | 7 | |
| вл | "Штурм" Грац, Австрия | 35 | 10 | 5 | 2 | 2 | 0 | |
| вл | "Рапид" Вена, Австрия | 38 | 30 | 5 | 1 | 6 | 2 | |
| вл | "Сент-Этьен", Франция | 48 | 16 | 2 | 1 | 12 | 5 | |
| 4л | "Сент-Этьен-2", Франция | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| вл | "Андерлехт", Бельгия | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
